Функціональний аналіз
(Функціональний аналіз)
- Мета даного курсу дати студентам фундаментальні знання з теорії нормованих просторів та лінійних обмежених операторів і розглянути застосування до інтегральних та диференціальних рівнянь.
- Завдання дисципліни: викласти основні принципи лінійного функціонального аналізу в нормованих просторах: принцип рівномірно обмеженості, теорему про обернений оператор і теорему про продовження лінійного функціоналу зі збереженням норми.
Розвинути теорію гільбертових просторів і ортогональних базисів.
Викласти основи теорії цілком неперервних операторів і дати її застосування.
- Студент повинен знати:
- основні поняття метричних і топологічних просторів, включаючи повноту, теорему Бера про категорію, критерій компактності Гаусдорфа та теорему про стискаюче відображення;
- нормовані простори;
- лінійні неперервні оператори та їх норми;
- основні принципи лінійного функціонального аналізу, спряжений простір і спряжений оператор;
- теорему про ортогональну проекцію в гільбертовому просторі, ряди Фур’є в ньому; цілком неперервні оператори, альтернатива Фредгольма, застосування до інтегральних рівнянь.
- Студент повинен вміти:
- знаходити відстані між елементами у різних метричних просторах;
- встановлювати різні топологічні характеристики множин у метричних і топологічних просторах (відкритість, замкненість, компактність, сепарабельність тощо);
- доводити повноту чи її відсутність конкретних метричних просторів;
- застосовувати категорний метод та теорему про стискаюче відображення;
- знаходити норму векторів, операторів та функціоналів;
- застосовувати основні принципи функціонального аналізу;
- розв’язувати різні інтегральні рівняння.
- Teacher: Маслюченко Володимир Кирилович